朗讀優秀的數學家在定理之間看到類比，偉大數學家在類比之間看到類比_推理_三段論_過程第優秀的數學家在定理之間看到類比，偉大數學家在類比之間看到類比_推理_三段論

當前，實際的邏輯學只擅長處理確定的、不可能的或者完全可疑的事情．幸運的是，這三者都不需要我們推理．因此，這個世界真正的邏輯是機率演算的邏輯，它考慮的是一名理性思考者的大腦中已經或者應該存在的機率大小．——詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1850）
假設在某個黑夜，一名警察在空蕩蕩的街上巡邏．突然，他聽到防盜報警器的響聲．他立即向街對面看過去，發現一家珠寶店的窗戶被砸破了，一名戴著面具的男子從破碎的窗戶裡爬了出來，身後還背著一個裝滿了昂貴珠寶的袋子．警察會毫不猶豫地判定這名男子是壞人．但他是透過什麼推理過程得出這個結論的呢？讓我們先來看看這類問題的一般性質．
只要稍微想一想，我們就會明白，警察的結論並非是依靠證據做演繹推理得出的．實際上，完全可能存在這名男子無辜的合理解釋．比如，這名男子是珠寶店的老闆，剛從化妝舞會回家，沒有帶鑰匙．正當他經過自己的店面時，從一輛路過的卡車裡甩出來的石頭砸碎了窗玻璃．他為了保護自己的財產，才從窗戶帶走了珠寶．
儘管警察的推理過程並非邏輯演繹推理，我們仍然會認為它具有一定程度的有效性．已有的證據並不能使該男子是壞人這件事確信無疑（certain），但確實使這件事變得極其合理可信（plausible）．在學習任何數學理論之前，我們或多或少已經精於此類推理．在現實生活中，我們經常會碰到這種情況：沒有足夠的資訊來進行演繹推理，但是又不得不馬上採取行動．例如，判斷今天是否會下雨，然後採取相應的行動．
儘管我們對此並不陌生，但合情結論的形成是一個非常微妙的過程．雖然歷史上對這個問題的討論已經延續了 24 個世紀，但至今還沒有人對該過程做出過完全令人滿意的分析．我將闡述一些有用且激動人心的新進展，其中，明確的定理將取代相互矛盾的直覺判斷，確定的規則將取代特定的處理流程——這些規則由一些幾乎不可避免的基本的理性準則確定．
所有對這些問題的討論都是從舉例說明演繹推理與合情推理之間的區別開始的．歸功於亞里士多德的《工具論》（公元前 4 世紀），演繹推理通常最終可以分解為以下兩種強三段論的重複應用：
和它的逆
這是我們希望能一直使用的推理模式．但是，如上所述，在我們面臨的幾乎所有實際情況中，都沒有適當的資訊來進行這種推理．我們不得不依賴於以下弱三段論：
證據並不能證明 A 真，但驗證其結果之一（B 真）能讓我們對 A 真更有信心．例如，我們定義：
A ≡ 最遲在上午 10 點開始下雨；
B ≡ 天空會在上午 10 點之前變得多雲．
上午 9：45 觀察到天空多雲並不能從邏輯上保證隨後一定會下雨．然而，我們的常識遵從弱三段論：如果烏雲密佈，可能會促使我們改變計劃，並表現得好像我們相信隨後會下雨．
這個例子還表明，大前提“A 真則 B 真”只表示 B 是 A 的邏輯結果，兩者並不一定存在物理上的因果關係（若是因果關係，B 只能在 A 之後發生）．上午10 點下雨不是 9：45 多雲的物理原因．然而，正確的邏輯關係也不是由 B 推出 A這種並不確定的因果方向（多雲 =⇒ 下雨），而是由 A 推出 B 這種確定但非因果的邏輯方向（下雨 =⇒ 多雲）．
我們在一開始就強調我們關注的是邏輯關係，原因是一些關於推理的討論和應用由於未能看到邏輯蘊涵關係與物理因果關係之間的區別，而陷入了嚴重的錯誤．西蒙和雷舍爾（Simon & Rescher，1966）曾深入分析了這種區別，他們指出，所有試圖將蘊涵關係解釋為因果關係的行為都會導致第二種三段論 (1.2) 中的 A與 B 之間產生不可置換性．也就是說，如果將大前提解釋為“A 是 B 的物理原因”，那麼我們將很難接受“非 B 是非 A 的物理原因”．
另一種弱三段論使用了同樣的大前提：
在這種情況下，證據並不能證明 B 假．但是，保證 B 真的一個可能的依據已經被排除了，所以我們對 B 真的信心會減少．科學家接受或拒絕某理論的推理過程幾乎全部由第二或第三種三段論組成．
現在來看，前述警察的推理過程甚至不屬於以上幾種模式中的任何一種．它用一種更弱的三段論來描述最合適：
儘管抽象地用 A 和 B 來描述的這種論證模式看似存在明顯的缺陷，但我們意識到警察的結論仍然有很強的說服力．有某種東西讓我們相信，在這一特定情況下，警察的論證幾乎與演繹推理有同樣的效力．
這些例子表明，大腦在做合情推理的過程中不僅會判斷某件事是變得更合情還是變得更不合情，而且會以某種方式來評估合情的程度．10 點之前下雨的合情程度非常依賴天空在 9：45 是否烏雲密佈．大腦會同時使用舊資訊與新資料來決定如何行動．我們會試圖回憶關於雲與雨的過往經驗以及前一天晚上的天氣預報來做判斷．
為了說明警察也在使用過往經驗來做判斷，我們只需要改變這種經驗即可．假設類似事件每天晚上都會發生多次，每個警察幾乎都碰到過，但是那名男子每次都被證明是完全無辜的．很快，警察們將學會忽略這些無關緊要的事件．
因此，在推理過程中，我們非常依賴先驗資訊來評估新問題的合情程度．這種推理過程是無意識的，幾乎是即時的．為了隱藏其複雜性，我們稱之為常識．
數學家喬治·波利亞寫了三本關於合情推理的書（George Pólya，1945，1954），舉了一大批有意思的例子，表明我們在做合情推理時存在確定的規則（儘管在他的著作中，這些規則是以定性的形式給出的）．以上弱三段論模式出現在《數學與猜想（第二卷）：合情推理模式》中．強烈建議讀者閱讀波利亞的這部著作，它是我很多思想的最初來源．下面將展示波利亞的原則如何以定量的形式給出，並提供有用的應用．
顯然，上面描述的演繹推理有一種性質，即我們可以用 (1.1) 和 (1.2) 進行一系列推理，所得結論和前提一樣有說服力．對於另外的推理模式 (1.3)～(1.5)，在經過幾步推理後，結論的可靠性可能發生改變．但是，在它們的定量形式中，我們發現結論的可靠性在很多情況下可能接近於演繹推理（就像警察的例子讓我們相信的那樣）．波利亞向我們展示了，即使是純數學家，在大多數時候其實也在使用這種弱三段論模式進行推理．當然，在發表一個新定理時，數學家將努力發明一種僅依賴於演繹推理的證明方式．然而，在得到該定理的推理過程中，難免使用弱三段論模式（比如，用類比的方法得到後續的猜測）．斯特凡·巴拿赫也曾經表述過類似的想法（引自 S. Ulam，1957）：
優秀的數學家在定理之間看到類比，偉大的數學家在類比之間看到類比．
作為出發點，我們先來看看與另一個領域非常有啟發性的類比，它本身也是基於合情推理的．
在物理學中，我們很快就發現世界太過複雜，無法一次性地進行總體分析．只有“分而治之”，才能取得進展．有時候，我們可以發明一種數學模型來重現某一小部分的若干特徵，每當發生這種情況時，我們就會感覺已經取得了進展．這些模型稱為物理理論．隨著知識的進步，我們能夠發明越來越好的模型，這些模型能夠越來越準確地再現現實世界中越來越多的特徵．沒有人知道這個過程是否存在自然的終點，是否將無限期繼續下去．
在試圖理解常識時，我們將採取類似的方法．我們不會試圖一下子全部理解，但是如果能夠構建可以再現其一些特徵的理想化數學模型，我們就認為取得了進展．我們希望當前構建的所有模型在未來被更全面的模型取代，我們不知道這個過程是否存在自然的終點．
與物理理論做類比比與純粹方法做類比更加深刻．通常，我們最熟悉的事情是最難以理解的．絕大多數人不知道的物理現象（例如鐵和鎳的紫外光譜的差異）能透過詳盡的數學細節來解釋，然而面對像一片草葉的生長這樣的普通事實的複雜性，現代科學卻顯得無能為力．因此不應該對我們的模型期望太高．對於人們最熟悉的一些心理活動特徵，我們可能會發覺很難構建適當的模型，必須對此做好心理準備．
還有更多類比．在物理學中，我們常常發現任何知識的進步都會帶來巨大的實用價值，但是這些價值具有不可預測的性質．例如，倫琴發現的 X 射線帶來了醫學診斷的新方法；麥克斯韋發現了磁場旋度方程式的一個額外項，使得全球準即時通訊成為可能．
我們關於常識的數學模型也表現出了實用的特徵．任何成功的模型，即使只能重現常識的一小部分特徵，也會在某個應用領域中被證明是常識的強大擴充套件．在這個領域內，模型使我們能夠解決涉及複雜細節的推理問題．如果沒有模型的幫助，我們永遠不會試圖解決這些問題．

《優秀的數學家在定理之間看到類比，偉大數學家在類比之間看到類比_推理_三段論_過程》完，請繼續朗讀精采文章。
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