2022年03月09日 10:37
【科學快訊】
來源：《給孩子的數學故事書》
作者：張遠南 張昶
常言說得好：失之毫厘，謬之千裏。
一顆人造衛星，要送到地球上空的預定軌道，離不開精密的數學計算。百層摩天大廈能夠拔地而起，沒有准確的數學計算，也是難以想象的。
數學一向以嚴密、精確著稱。然而，在20世紀60年代，卻偏有一個叫「模糊數學」的數學新分支異軍突起。 ；
難道數學計算無須精密准確而需要「模模糊糊」？當然不是。自然科學的學科，只有當它們能夠使用數學語言描述的時候，才談得上成熟。在恩格斯的那個年代，數學在生物學上的應用還幾乎為零。然而如今的生物學，已全然離不開數學。就連許多社會科學，也在不斷追求定量化和數學化。那麼，為什麼在此時此刻反而半路殺出一個「模糊數學」呢？ 這還得從兩種不同的概念講起。 ；
在日常生活中，我們遇到的概念不外乎兩類。一類是清晰的概念，對象是否屬於這個概念是明確的。例如，人、自然數、正方形等。要麼是人，要麼不是人；要麼是自然數，要麼不是自然數；要麼是正方形，要麼不是正方形。非此即彼。
另一類概念對象從屬的界限是模糊的，隨判斷人的思維而定。例如，美不美、早不早、便宜不便宜等。西施是我國古代公認的美女，但有道是「情人眼裏出西施」，這就是說，在一些人看來未必那麼美的人，在另一些人眼裏，卻美得可以與西施相比擬。可見，「美」與 「不美」是不存在一個精確的界限的。
再說「早」與「不早」，清晨5點，對於為都市「梳妝打扮」的清潔工人來說可能算是遲了，但對於大多數人來說，卻是很早的。至於便宜不便宜，那更是隨人的感覺而異了！
在客觀世界中，諸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。對於這類模糊現象，過去已有的數學模型難以適用，需要形成新的理論和方法，即在數學和模糊現象之間架起一座橋梁。這就是我們要講的「模糊數學」。 ；
加速這座橋梁架設的是計算機科學的迅速發展。大家知道，人的大腦具有非凡的判別和處理模糊事物的能力。就拿一個孩子識別自己的母親為例，即使這位母親更換了新衣，改變了發型，她的孩子依然會從高矮、胖瘦、音容、姿態等迅速地做出准確判斷。
如果這件事讓計算機來幹，那就非得把這位母親的身高、體重、行走速度、外形曲線等，全都計算到小數點後的十幾位，然後才能著手判斷。這樣的「精確」實在是事與願違，走到了事物的反面。
說不定就因為這位母親臉上一時長了一個小癤，該部位的平均高度比原來高了零點零幾毫米，而使計算機做出「拒絕接受」的判斷！難怪模糊數學的創始人、美國加利福尼亞大學教授、自動控制專家L.A。紮德（L.A.Zadeh，1921—2017） 說：「所面對的系統越複雜，人們對它進行有意義的精確化的能力就越低。」
他生動地舉了一個停車問題的例子，他說，要把汽車停在擁擠停車場的兩輛汽車之間的空地上，這對有經驗的司機來說，並非什麼難事。但若用精確的方法求解，即使是一台大型電子計算機也不容易。 ；
那麼，要使計算機能夠模仿人腦，對複雜系統進行識別和判斷，出路在哪裏呢？ ；
紮德教授主張在極度的複雜性面前，從精度方面「後退」一步。他提出用隸屬函數使模糊概念數學化。例如 「禿頭」，這顯然是一種模糊概念。
（a）的頭沒有一點頭發，自屬標准「禿頭」隸屬程度為1；
（d）的頭是典型禿頂，所以「禿」的隸屬程度可定為0.8；
（c）的頭上，長滿了烏黑的頭發，根本與「禿」沾不上邊，所以「禿」的隸屬程度為0；
（b）與（e） 的「禿」，比之（a）、（d）則不足，比之 （c）則有餘，隸屬程度可分別定為 0.5和0.3。
這樣「禿」這個模糊概念就可以用以下的方法定量地給出定義： <禿頭>=1/a+0.5/b+0/c+0.8/d+0.3/e
這裏的「+」和「/」，不是通常的相加和相除，只是一種記號。「1/a」 表明狀態a的隸屬程度為「1」，「+」則表示各種情況的並列。 ；
下面我們再看「年輕」和「年老」這兩個模糊概念。
紮德教授本人根據統計資料，擬合了這兩個概念的隸屬函數圖像。圖中橫坐標表示年齡，縱坐標表示隸屬程度。
例如，從坐標圖可以看出，50歲以下的人不屬於「年老」，而當年齡超過50歲時，隨著歲數的增大，「年老」的隸屬程度也越來越大。
「人生七十古來稀」，70歲的人「年老」的隸屬程度已達94%。同樣，在坐標圖中我們可以看到，25歲以下的人，「年輕」的隸屬程度為 100%，超過25歲，「年輕」的程度越來越小。40歲已是「人到中年」，「年輕」的隸屬程度只有10%。假如有人問你：「你的數學老師年輕嗎？」而你的回答卻是： 「他‘年輕’的隸屬程度為25%。」這樣的答案自然不會有錯，但顯然是很別扭的。
為了使人產生一種確切的印象，我們可以固定一個百分數，例如40%，隸屬程度大於或等於40%的都叫「年輕」，反之就不叫「年輕」。
在這種前提下，你對你朋友的回答也就是肯定的了，你可以明白地告訴你的朋友，你的數學老師不年輕。因為這時「年輕」一詞，已從模糊概念轉為明確的概念。
當然，作為隸屬程度分界線的那個固定百分數，是應當通過科學的分析，或者通過民意測驗的統計來選取的。
再舉中國古代史的分期為例，「奴隸社會」是個模糊概念。
<奴隸社會>=1/夏+1/商+0.9/西周+0.7/春秋+ 0.5/戰國+0.4/秦+0.3/西漢+0.1/東漢
取0.5的隸屬程度作為奴隸社會的劃分界限，那麼屬於奴隸社會的，就該是夏、商、西周、春秋和戰國。秦、漢則不屬於奴隸社會。
在精確數學中，「非常」「很」「不」等詞是很難用數量加以表述的。但在模糊數學中，卻可以讓它們定量化。例如，「很」表示隸屬程度的平方，「不」則表示用1減去原隸屬度等。如30歲屬於「年輕」的隸屬程度為0.5，那麼屬「很年輕」的隸屬程度就只有（0.5）²=0.25，而「不很年輕」的隸屬程度則為1-（0.5）²= 0.75
上面我們看到，在對事物的模糊性進行定量刻畫的時候，同樣需要用到概率統計的手段和精確數學的方法。由此可見，「模糊數學」實際上並不模糊。 ；
模糊數學的誕生，把數學的應用領域從清晰現象擴展到模糊現象，從而使數學闖進了許多過去難以達到的「禁區」。用模糊數學的模型來編制程序，讓計算機模擬人腦的思維活動，已經在文字識別、疾病診斷、氣象預測、火箭發射等方面獲得了成功， 前景十分誘人。 ；
