2022年01月30日 10:30 環球科學 數學家歐拉提出過一個類似6×6數獨的36軍官問題:從6個軍團各挑6種不同軍銜的軍官一共36人,將這36名軍官排成一個方陣,能否讓每一行、每一列的軍官所屬的軍團和軍銜都不相同?後來數學家證明了,類似的5階、7階問題都有解,唯獨在6階無解。 再後來,一群物理學家開了腦洞:如果每個軍官都處在兩個軍團和兩種軍銜的疊加態中,這個問題還有解嗎?他們真的找到了一個量子解…… 撰文|白德凡 審校|二七 數獨遊戲風靡全球,無論你是否愛玩,至少也聽說過這種遊戲的規則:一個9×9的網格被分為9個3×3的「宮」,將數字1~9填入這些格子中,要保證每行、每列和每宮都沒有重複的數字。 一般一個數獨遊戲會給出部分提示數,剩下的數字則需要玩家推理填補上。 就是這樣一個簡單的規則,衍生出了非常多的解題技巧,引得無數玩家樂此不疲。 數獨的前身可以追溯到18世紀的歐洲,數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)總結了當時流行的一種填字遊戲,稱為「拉丁方陣」(Latin square)。 遊戲的規則即是在n階的方形網格中填入n種拉丁字母(類似於2階數獨中,填入數字1~2,而3階數獨中填入1~3),使得每行、每列的字母都不會重複。 這種方陣不限於9階,也沒有宮的限制,但保留了數獨最基本的「每行每列不重複」的要求。 不過讓歐拉著迷的是拉丁方陣的一種更複雜的版本。 歐拉考慮往每個格子中填入一個拉丁字母和一個希臘字母,使得每行、每列的字母都不會重複,並且每個格子中的希臘-拉丁字母對也不重複。 這種方陣叫做「希臘-拉丁方陣」(Graeco-Latin square),其實質是將兩個正交拉丁方陣(orthogonal Latin squares)並成一個方陣。 這裏的「正交」即是指,兩個方陣對應格子組成的有序對不重複。 如果你也想嘗試,格子裏的元素並不一定要是希臘和拉丁字母,你也可以用撲克牌的花色組合,甚至有序數對表示。 無解的36軍官問題 歐拉在仔細考察了希臘-拉丁方陣後發現了一個有趣的現象:3,4,5,7階的希臘-拉丁方陣都可以構造出來,但是無法構造出2階和6階的希臘-拉丁方陣。 2階的問題比較好處理,通過窮舉法就能看出這樣的希臘-拉丁方陣不存在,而6階的問題相對複雜一些。 歐拉用更通俗的語言複述了這個問題:從6個軍團各挑6種不同軍銜的軍官一共36人,將這36名軍官排成一個方陣,能否讓每一行、每一列的軍官所屬的軍團和軍銜都不相同? 3,4,5,7階軍官問題的解。 其中格子的顏色代表軍團,格子中的符號代表軍銜(圖片來源:Wikipedia) 歐拉認為這個「36軍官問題」問題是無解的,即不存在6階的希臘-拉丁方陣。 並且他猜想,所有階數為除以4餘2的數的希臘-拉丁方陣都不存在,也就是說,2,6,10,14……階的希臘-拉丁方陣都不存在。 一個多世紀後的1901年,法國數學家加斯頓·塔裏(Gaston Tarry)通過窮舉法證實了,按規則構造出來的6階方陣總會有格子裏的元素是重複的,6階希臘-拉丁方陣確實不存在。 到了1959年,有數學家證明了歐拉進一步的猜想是不成立的,也就是說,除了2階和6階,其他階數的希臘-拉丁方陣都是存在的。 至此,這個關於原始版數獨的問題在數學上有了答案。 量子解法 時間來到21世紀,一幫物理學家重新翻出了歐拉的36軍官問題。 盡管這個問題在數學上已經有了定論,但他們從物理學的角度開了個腦洞:假如這36軍官處在一種量子疊加態中,每個軍官「部分地」屬於一個軍團和一種軍銜,又「部分地」屬於另一個軍團和另一種軍銜,那這個問題還有解嗎? 沿著這個思路,有物理學家修改了一下希臘-拉丁方陣的構造規則,給出了一個量子版本的數獨遊戲。 在量子力學中,物體的狀態可以用向量來表示。 在量子版36軍官問題中,每個軍官所屬的軍團可以表示為一個6維空間中的向量,所屬的軍銜又可以表示為另一個6維空間中的向量。 由於軍官可以處在各種疊加態中,這些向量可以各不相同,它們排列成的6×6方陣也就很容易滿足「每行每列的向量各不相同」的要求,但這沒有研究價值。 物理學家感興趣的是,每行、每列的向量是否構成了所屬空間的一組標准正交基。 要理解所謂「標准正交基」,可以做個類比。 我們所熟悉的三維空間中,可以建立直角坐標系,沿坐標系中的x,y,z軸方向的單位向量便構成了一組標准正交基,這三個向量滿足:方向上兩兩垂直,大小上都為單位長度。 36軍官問題可做類似理解,這意味著,6×6方陣中代表軍官軍團和軍銜的向量要滿足:每行、每列的向量兩兩垂直,並且大小為單位長度。 事實上,代表軍團的6維空間和代表軍銜的6維空間可以擴充為一個36維空間,而每個軍官的軍團和軍銜可以由這個36維空間中的一個向量表示。 這些向量排列成的6×6方陣依然需要滿足:每行、每列的向量兩兩垂直,並且大小為單位長度。 在近期提交給《物理評論快報》的一篇預印本論文中,來自印度理工學院、波蘭雅蓋隆大學等機構的物理學家為這個量子版本的36軍官問題找到了解。 他們先是構造出了一個經典的6×6希臘-拉丁方陣的近似解(這意味著有部分格子裏的元素是重複的),然後在計算機的幫助下,將這個近似解調整為量子版本的解。 他們使用了一種算法實現這一點,這種算法有點像蠻力解魔方,先拼好第一行,然後拼第一列、第二列,以此類推,直到終於拼出完整的魔方。 當他們一遍遍重複該算法後,得到了量子版36軍官問題的解。 這篇論文用撲克牌代替了軍官:點數A,K,Q,J,10,9代替了軍團;花色♠,♣,♦,♥,✿,✷代替了軍銜。 最終得到的量子解中,每個格子上的牌都處在兩種點數和兩種花色的疊加態中。 值得注意的是,凡是格子中出現了點數A,與之疊加的點數一定是K;Q與J,10與9同理。 而凡是格子中出現了花色♠,與之疊加的花色一定是♣;♦與♥,✿與✷同理。 這說明,點數和花色各自兩兩發生了量子糾纏。 也正是由於糾纏態的存在,整個方陣就不能像經典的希臘-拉丁方陣那樣,按點數和花色分解成兩個獨立的拉丁方陣。 這也是量子拉丁方陣的特別之處。 研究人員說,這個古老數獨問題的量子解,等價於一個4粒子系統的絕對最大糾纏態(Absolutely Maximally Entangled state)。 這種糾纏態可以應用於量子計算中的糾錯等許多場景,例如在量子計算機中以這種狀態存儲冗餘信息,即使數據遭到損壞,信息也能保存下來。 這個源自歐拉的古老數學問題,在243年後得到了一個物理學上的新解答。 或許對於理論物理學家來說,這只是一次好玩的腦洞,卻讓量子通信和量子計算領域的研究者從中受益。 科學的進步往往就發生在這樣的遊戲中。 參考鏈接: 論文鏈接: 《被判為無解的數學謎題,物理學家找出了答案》完,請繼續朗讀精采文章。 喜歡 科學報 cn-n.net,請記得按讚、收藏及分享。
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被判為無解的數學謎題,物理學家找出了答案
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