2022年01月30日 10:30
環球科學
數學家歐拉提出過一個類似6×6數獨的36軍官問題：從6個軍團各挑6種不同軍銜的軍官一共36人，將這36名軍官排成一個方陣，能否讓每一行、每一列的軍官所屬的軍團和軍銜都不相同？後來數學家證明了，類似的5階、7階問題都有解，唯獨在6階無解。再後來，一群物理學家開了腦洞：如果每個軍官都處在兩個軍團和兩種軍銜的疊加態中，這個問題還有解嗎？他們真的找到了一個量子解……
撰文|白德凡
審校|二七
數獨遊戲風靡全球，無論你是否愛玩，至少也聽說過這種遊戲的規則：一個9×9的網格被分為9個3×3的「宮」，將數字1~9填入這些格子中，要保證每行、每列和每宮都沒有重複的數字。一般一個數獨遊戲會給出部分提示數，剩下的數字則需要玩家推理填補上。就是這樣一個簡單的規則，衍生出了非常多的解題技巧，引得無數玩家樂此不疲。
數獨的前身可以追溯到18世紀的歐洲，數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）總結了當時流行的一種填字遊戲，稱為「拉丁方陣」（Latin square）。遊戲的規則即是在n階的方形網格中填入n種拉丁字母（類似於2階數獨中，填入數字1~2，而3階數獨中填入1~3），使得每行、每列的字母都不會重複。這種方陣不限於9階，也沒有宮的限制，但保留了數獨最基本的「每行每列不重複」的要求。
不過讓歐拉著迷的是拉丁方陣的一種更複雜的版本。歐拉考慮往每個格子中填入一個拉丁字母和一個希臘字母，使得每行、每列的字母都不會重複，並且每個格子中的希臘-拉丁字母對也不重複。這種方陣叫做「希臘-拉丁方陣」（Graeco-Latin square），其實質是將兩個正交拉丁方陣（orthogonal Latin squares）並成一個方陣。這裏的「正交」即是指，兩個方陣對應格子組成的有序對不重複。如果你也想嘗試，格子裏的元素並不一定要是希臘和拉丁字母，你也可以用撲克牌的花色組合，甚至有序數對表示。
無解的36軍官問題
歐拉在仔細考察了希臘-拉丁方陣後發現了一個有趣的現象：3，4，5，7階的希臘-拉丁方陣都可以構造出來，但是無法構造出2階和6階的希臘-拉丁方陣。2階的問題比較好處理，通過窮舉法就能看出這樣的希臘-拉丁方陣不存在，而6階的問題相對複雜一些。歐拉用更通俗的語言複述了這個問題：從6個軍團各挑6種不同軍銜的軍官一共36人，將這36名軍官排成一個方陣，能否讓每一行、每一列的軍官所屬的軍團和軍銜都不相同？
3，4，5，7階軍官問題的解。其中格子的顏色代表軍團，格子中的符號代表軍銜（圖片來源：Wikipedia）
歐拉認為這個「36軍官問題」問題是無解的，即不存在6階的希臘-拉丁方陣。並且他猜想，所有階數為除以4餘2的數的希臘-拉丁方陣都不存在，也就是說，2，6，10，14……階的希臘-拉丁方陣都不存在。
一個多世紀後的1901年，法國數學家加斯頓·塔裏（Gaston Tarry）通過窮舉法證實了，按規則構造出來的6階方陣總會有格子裏的元素是重複的，6階希臘-拉丁方陣確實不存在。到了1959年，有數學家證明了歐拉進一步的猜想是不成立的，也就是說，除了2階和6階，其他階數的希臘-拉丁方陣都是存在的。至此，這個關於原始版數獨的問題在數學上有了答案。
量子解法
時間來到21世紀，一幫物理學家重新翻出了歐拉的36軍官問題。盡管這個問題在數學上已經有了定論，但他們從物理學的角度開了個腦洞：假如這36軍官處在一種量子疊加態中，每個軍官「部分地」屬於一個軍團和一種軍銜，又「部分地」屬於另一個軍團和另一種軍銜，那這個問題還有解嗎？
沿著這個思路，有物理學家修改了一下希臘-拉丁方陣的構造規則，給出了一個量子版本的數獨遊戲。在量子力學中，物體的狀態可以用向量來表示。在量子版36軍官問題中，每個軍官所屬的軍團可以表示為一個6維空間中的向量，所屬的軍銜又可以表示為另一個6維空間中的向量。由於軍官可以處在各種疊加態中，這些向量可以各不相同，它們排列成的6×6方陣也就很容易滿足「每行每列的向量各不相同」的要求，但這沒有研究價值。物理學家感興趣的是，每行、每列的向量是否構成了所屬空間的一組標准正交基。
要理解所謂「標准正交基」，可以做個類比。我們所熟悉的三維空間中，可以建立直角坐標系，沿坐標系中的x，y，z軸方向的單位向量便構成了一組標准正交基，這三個向量滿足：方向上兩兩垂直，大小上都為單位長度。36軍官問題可做類似理解，這意味著，6×6方陣中代表軍官軍團和軍銜的向量要滿足：每行、每列的向量兩兩垂直，並且大小為單位長度。
事實上，代表軍團的6維空間和代表軍銜的6維空間可以擴充為一個36維空間，而每個軍官的軍團和軍銜可以由這個36維空間中的一個向量表示。這些向量排列成的6×6方陣依然需要滿足：每行、每列的向量兩兩垂直，並且大小為單位長度。
在近期提交給《物理評論快報》的一篇預印本論文中，來自印度理工學院、波蘭雅蓋隆大學等機構的物理學家為這個量子版本的36軍官問題找到了解。他們先是構造出了一個經典的6×6希臘-拉丁方陣的近似解（這意味著有部分格子裏的元素是重複的），然後在計算機的幫助下，將這個近似解調整為量子版本的解。他們使用了一種算法實現這一點，這種算法有點像蠻力解魔方，先拼好第一行，然後拼第一列、第二列，以此類推，直到終於拼出完整的魔方。當他們一遍遍重複該算法後，得到了量子版36軍官問題的解。
這篇論文用撲克牌代替了軍官：點數A，K，Q，J，10，9代替了軍團；花色♠，♣，♦，♥，✿，✷代替了軍銜。最終得到的量子解中，每個格子上的牌都處在兩種點數和兩種花色的疊加態中。值得注意的是，凡是格子中出現了點數A，與之疊加的點數一定是K；Q與J，10與9同理。而凡是格子中出現了花色♠，與之疊加的花色一定是♣；♦與♥，✿與✷同理。這說明，點數和花色各自兩兩發生了量子糾纏。也正是由於糾纏態的存在，整個方陣就不能像經典的希臘-拉丁方陣那樣，按點數和花色分解成兩個獨立的拉丁方陣。這也是量子拉丁方陣的特別之處。
研究人員說，這個古老數獨問題的量子解，等價於一個4粒子系統的絕對最大糾纏態（Absolutely Maximally Entangled state）。這種糾纏態可以應用於量子計算中的糾錯等許多場景，例如在量子計算機中以這種狀態存儲冗餘信息，即使數據遭到損壞，信息也能保存下來。這個源自歐拉的古老數學問題，在243年後得到了一個物理學上的新解答。或許對於理論物理學家來說，這只是一次好玩的腦洞，卻讓量子通信和量子計算領域的研究者從中受益。科學的進步往往就發生在這樣的遊戲中。
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