2022年05月02日 10:40
【科學快訊】
來源：上海科技館
作者：郭瑋宏
每次在做核酸的時候，看著前面長長的隊伍，我都在想，什麼時候才能排到我呢？為什麼我排的隊總是比別人慢呢？到底什麼時候下樓排隊，才是最好的呢？
其實，核酸排隊也是一門學問。如果排隊的人太多而核酸檢測點太少，則大家排隊會等太久，如果為了大家不排隊而增加大量核酸檢測點，則浪費了醫療資源。
那麼怎樣減少排隊時間、優化服務資源投入？數學家早就研究過了，並由此發展出了運籌學的一個分支——排隊論。
排隊論起源於1909年，丹麥數學家、電氣工程師埃爾朗最早用概率論方法研究哥本哈根市電話局的電話占線問題，那時急需解決一個重要難題：電話公司應該設置多少台交換機、雇傭多少接線員？埃爾朗用數學語言描述了隨機打電話的人和隨機通話的時間，能夠解答任意數量接線員和接線機問題。他在1909年發表「概率論與電話會話」論文被公認為排隊論的開山之作。
除了做核酸，我們日常生活中經常遇到的現象，如到商店購買東西、到醫院看病、十字路口堵車，都是排隊問題。類似於電話占線、機器故障維修、乃至於牛奶供應配送等，都是無形的排隊。
那麼數學家對排隊問題研究出了什麼呢？
基本概念
首先是排隊論的基本模型。
非常簡單，就是顧客到達服務台接受服務，有人的話就排隊，排到就接受服務，接受好服務就離開。這是排隊論最基本的模型描述。核酸排隊的基本模型，就是居民來到核酸檢測點排隊，排到就進行核酸檢測，做完就離開。
一般的排隊過程都由輸入過程、排隊規則、服務過程三部分組成、
輸入過程是指顧客到來時間的規律性。對於核酸檢測來說，可以看作居民是無限的，獨立、均勻、隨機地到來。此處所謂「無限」，是指核酸檢測容量是無限的，即道理上可以無限排隊下去，而不是指人數本身是無限的。與之相對「有限」的概念，可以看做停車場車位是有限的，排隊來停車，能排到就停，排不到就要開走。「無限」和「有限」是兩種不同的模式。
排隊規則指到達排隊系統的顧客按怎樣的規則排隊等待。可分為損失制，等待制和混合制三種。核酸檢測顯然是等待制。
服務過程主要包括服務機構和服務規則兩部分。
服務機構放在核酸檢測這件事來說，就是可以有1組或多組大白在同時檢測，多組檢測又存在並聯或者串聯的形式。相信對於不同小區來說，會是不同的服務模式。
等待制的服務規則有先到先服務、先到後服務、優先服務和隨機服務幾種模式。通常排隊論研究的都是先到先服務模式，核酸檢測也明顯是先到先服務模式。
最後，我們要假設服務是隨機且均勻平穩的。這樣的分析才有意義，比如大白在中午去吃飯了，這時候研究怎麼排隊是沒什麼意思的。
哪些因素會影響排隊模型的分類？
D.G.Kendall（1953）提出對排隊模型分類方法影響最大的特征有三個：
X：相繼顧客到達間隔的時間分布
Y：服務時間的分布
Z：服務台的個數
根據這3個特征，排隊模型的Kendall記號為：X/Y/Z。後來在1971年國際排隊符號標准會上將Kendall分類記號擴充到六項，記為X/Y/Z/A/B/C，表示：輸入分布/輸出分布/並聯的服務台數/系統容量（隊長）/系統狀態（顧客有限或無限）/服務規則。
核酸排隊問題的求解
求解排隊問題的目的，是研究排隊系統運行的效率、估計服務質量、確定系統參數的最優值，以決定系統結構是否合理、研究設計改進措施等。因此必須確定用以判斷系統運行優劣的基本數量指標，也稱為系統運行指標。
核酸排隊中，我們主要關注這些指標：
泊松分布
如何能夠准確描述核酸檢測的排隊狀態呢？常用的描述排隊狀態的分布有泊松分布、確定型分布，指數分布和愛爾朗分布等。核酸檢測居民到來的分布和檢測點能夠服務人員的分布都可以視為泊松分布。
泊松分布
生活中最常見的隨機均勻的發生概率的描述就是泊松分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表，用來描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。
圖源：blog.csdn.net
泊松分布的狀態概率函數如下：
前面介紹已經說過，核酸檢測居民到來的分布和檢測點能夠服務人員的分布都可以視為泊松分布，那麼在公式中這個參數λ可以表示單位時間平均到達的居民數，用μ表示單位時間完成核酸檢測的居民數，則1/λ表示居民到達的平均時間間隔，1/μ表示一個居民的平均核酸檢測時間。
算一算
考慮到我們小區是前面說過的多隊列多檢測點模式，對於1隊來說就是單隊列單檢測點，我們把這個排隊模式記為M/M/1（還記得那個X/Y/Z嗎？）：M就是指負指數分布（泊松分布是一種負指數分布），第一個M是指居民相繼到達時間服從參數為的負指數分布，第二個M是指服務時間服從參數為的負指數分布，服務台個數為1，且允許無限排隊，這是一類最簡單的排隊系統。
於是有：
在上述公式中，服務強度體現了系統的繁忙程度。只有ρ<1，系統才有平衡狀態。大家可以想想，如果ρ>1會發生什麼。
好了，鋪墊了這麼多，終於可以進行一些計算了。
假設：我們小區有3000人，5小時測完，總共3個檢測點，那麼1個檢測點1分鐘平均到達約3.33個人。且假設15秒能檢測完1個人（差不多吧），也就是1分鐘檢測4個人。
根據假設：λ=10/3，μ=4，ρ=λ/μ=5/6
代入公式得出
這樣計算的結果似乎與大家的實際體驗比較不符，這是因為實際中居民往往是在同一時間出現，不滿足均勻分布的假設，且大白在給小朋友檢測時，也做不到15s測完1個人。這就導致某些時候，到達的人遠遠多於能夠離開的人，也就是服務強度ρ>1，這個時候就會出現擁堵，持續下去人會越聚越多，只能讓後面的人先不要來慢慢消化了。
不過本文的計算也提示我們，其實只要安排好居民出現的時間盡量均勻，排隊並不需要很長。
總而言之，戰勝疫情還需要我們一同努力，該排隊的時候大家也會認真排隊，不管隊伍多長。那麼本文就留給大家排隊的時候慢慢看吧。
<1><運籌學>課程精講 | 9.1 排隊論的基本概念。
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<2>排隊論模型（一）：基本概念、輸入過程與服務時間的常用概率分布。https：//blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89735320
<3>如何用簡單易懂的實例解釋排隊論？https：//www.zhihu.com/question/316750026
